Les retenues jumelles

Déterminer la valeur de chacune des dix lettres, puis écrire les deux additions en chiffres.

Corrigé — cette page contient la réponse.

La réponse exacte

A = 1, B = 3, C = 9, D = 5, E = 6, F = 7, G = 2, H = 4, I = 0, J = 8

5573 + 8462 = 14035

6707 + 8669 = 15376

Le raisonnement

Chaque colonne transporte une retenue de 0 ou 1. Pour une addition de deux nombres à quatre chiffres, une éventuelle cinquième position du résultat est une retenue finale, donc vaut 1.
Écris une équation de colonne, de droite à gauche : chiffre du premier terme + chiffre du second + retenue entrante = chiffre résultat + 10 × retenue sortante. Une même lettre doit garder sa valeur dans les deux additions.
Addition 1, colonne 1 : B + G + r1_0 = D + 10 × r1_1.
Addition 1, colonne 2 : F + E + r1_1 = B + 10 × r1_2.
Addition 1, colonne 3 : D + H + r1_2 = I + 10 × r1_3.
Addition 1, colonne 4 : D + J + r1_3 = H + 10 × r1_4.
Addition 2, colonne 1 : F + C + r2_0 = E + 10 × r2_1.
Addition 2, colonne 2 : I + E + r2_1 = F + 10 × r2_2.
Addition 2, colonne 3 : F + E + r2_2 = B + 10 × r2_3.
Addition 2, colonne 4 : E + J + r2_3 = D + 10 × r2_4.
Dans ces équations, r1_0 et r2_0 valent zéro. Chaque autre retenue vaut 0 ou 1 ; la même lettre désigne toujours le même chiffre.
Explore les couples de chiffres possibles dans la colonne des unités, calcule la retenue et barre toute branche donnant le même chiffre à deux lettres différentes. Répète pour les dizaines, centaines et milliers ; une lettre déjà affectée ne reçoit plus de nouveau choix.
La première addition admet 16 affectations partielles respectant ces contraintes. Après affectation des lettres encore absentes à des chiffres libres, 16 substitutions sont contrôlées contre la seconde addition.
Le croisement des deux additions est essentiel : il faut transporter la substitution entière, et non résoudre séparément chaque ligne puis juxtaposer deux réponses incompatibles.
Addition 1 : DDFB + JHEG = AHIBD, soit 5573 + 8462 = 14035.
Colonne 1 depuis la droite : 3 + 2 + retenue 0 = 5. Écris 5, reporte 0.
Colonne 2 depuis la droite : 7 + 6 + retenue 0 = 13. Écris 3, reporte 1.
Colonne 3 depuis la droite : 5 + 4 + retenue 1 = 10. Écris 0, reporte 1.
Colonne 4 depuis la droite : 5 + 8 + retenue 1 = 14. Écris 4, reporte 1.
Addition 2 : EFIF + JEEC = ADBFE, soit 6707 + 8669 = 15376.
Colonne 1 depuis la droite : 7 + 9 + retenue 0 = 16. Écris 6, reporte 1.
Colonne 2 depuis la droite : 0 + 6 + retenue 1 = 7. Écris 7, reporte 0.
Colonne 3 depuis la droite : 7 + 6 + retenue 0 = 13. Écris 3, reporte 1.
Colonne 4 depuis la droite : 6 + 8 + retenue 1 = 15. Écris 5, reporte 1.
Fausse piste de la première addition : A=1, B=2, D=7, E=9, F=3, G=5, H=6, I=4, J=8. Elle ne se prolonge en aucune substitution qui satisfasse la seconde addition ; conserver seulement une première somme exacte serait donc insuffisant.
Le solveur énumère toutes les retenues et toutes les affectations injectives compatibles avec la première addition, puis teste la seconde sans approximation. Une seule substitution complète subsiste.

Fausses pistes et erreurs

Attribuer un chiffre à une lettre en oubliant qu’il est déjà pris.
Autoriser un zéro initial.
Oublier de reporter une retenue ou changer la valeur d’une lettre entre les deux additions.

Déplier le certificat détaillé de recherche

Chaque branche est indépendante. L’arbre montre les déductions et contradictions du protocole utilisé ; ce n’est pas l’unique méthode possible.

{
  "partial_mappings": [
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 2,
        "G": 5,
        "D": 7,
        "F": 3,
        "E": 9,
        "H": 6,
        "I": 4,
        "J": 8,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 2,
        "G": 5,
        "D": 7,
        "F": 9,
        "E": 3,
        "H": 6,
        "I": 4,
        "J": 8,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 3,
        "G": 2,
        "D": 5,
        "F": 6,
        "E": 7,
        "H": 4,
        "I": 0,
        "J": 8,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 3,
        "G": 2,
        "D": 5,
        "F": 7,
        "E": 6,
        "H": 4,
        "I": 0,
        "J": 8,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 1
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 3,
        "G": 5,
        "D": 8,
        "F": 6,
        "E": 7,
        "H": 0,
        "I": 9,
        "J": 2,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 3,
        "G": 5,
        "D": 8,
        "F": 7,
        "E": 6,
        "H": 0,
        "I": 9,
        "J": 2,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 5,
        "G": 2,
        "D": 7,
        "F": 6,
        "E": 9,
        "H": 0,
        "I": 8,
        "J": 3,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 5,
        "G": 2,
        "D": 7,
        "F": 9,
        "E": 6,
        "H": 0,
        "I": 8,
        "J": 3,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 6,
        "G": 2,
        "D": 8,
        "F": 7,
        "E": 9,
        "H": 4,
        "I": 3,
        "J": 5,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 6,
        "G": 2,
        "D": 8,
        "F": 9,
        "E": 7,
        "H": 4,
        "I": 3,
        "J": 5,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 6,
        "G": 8,
        "D": 4,
        "F": 0,
        "E": 5,
        "H": 3,
        "I": 7,
        "J": 9,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 6,
        "G": 8,
        "D": 4,
        "F": 5,
        "E": 0,
        "H": 3,
        "I": 7,
        "J": 9,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 8,
        "G": 6,
        "D": 4,
        "F": 2,
        "E": 5,
        "H": 3,
        "I": 7,
        "J": 9,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 8,
        "G": 6,
        "D": 4,
        "F": 5,
        "E": 2,
        "H": 3,
        "I": 7,
        "J": 9,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 9,
        "G": 8,
        "D": 7,
        "F": 2,
        "E": 6,
        "H": 3,
        "I": 0,
        "J": 5,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    },
    {
      "first_addition_mapping": {
        "B": 9,
        "G": 8,
        "D": 7,
        "F": 6,
        "E": 2,
        "H": 3,
        "I": 0,
        "J": 5,
        "A": 1
      },
      "extensions_satisfying_second": 0
    }
  ]
}

Comment cette réponse a été vérifiée

Recherche exhaustive par colonnes, retenues binaires, permutation des chiffres non encore affectés et contrôle arithmétique des deux égalités.

{
  "first_equation_solutions": 16,
  "complete_substitutions_checked": 16,
  "column_nodes": 1059,
  "solutions": 1
}

Dix lettres et deux additions couplées obligent à combiner retenues, injectivité et transport des contraintes entre les équations. Une première équation correcte laisse plusieurs affectations : la résolution exige un tableau de retenues et une exploration systématique, pas une simple opération à compléter.

← Revenir à l’énoncé SOLO-015